مناقشة حول الأعداد الأولية للصف التاسع

الأعداد الأولية



تعريف العدد الأولي:

هو كل عدد طبيعي يقبل فقط قاسمين مختلفين هما العدد (1) والعدد نفسه.

أمثلة:

 العدد (37) عدد أولي لأنّه يقبل فقط قاسمين مختلفين هما 1 ، 37 .
 العدد (14) قواسمه هي: 1 ، 2 ، 7 ، 14 فهو يقبل قواسماً تختلف عن (1) وعن (14) فهو ليس أولياً.
 الأعداد الأولية المحصورة بين العدد (1) و العدد (100) هي:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41
43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

 العدد (1) ليس أولياً لأنّه يقبل قاسماً واحداً فقط.
 العدد (0) ليس أولياً لأنّه يقبل عدداً غير منته من القواسم.

طريقة التعرف على العدد الأولي:

 نختبر قابلية قسمة العدد على كل من الأعداد الأولية حسب ترتيبها التصاعدي: 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، ...
 نتوقف عن عمليات القسمة عند أول باقٍ معدوم (يساوي الصفر) وفي هذه الحالة يكون العدد غير أولي.
 وعندما نصادف أول ناتج قسمة أصغر من المقسوم عليه يكون العدد أولياً.


مثال صـ 7: هل العدد (197) أولي؟
الحل:

هل يقبل العدد 197 القسمة على: 2 3 5 7 11 13 17
الجواب: لا لا لا لا لا لا ...

نلاحظ أنّ: 197 ÷ 13 ≈ 15 وبما أنّ 15 > 13 لذلك نتابع عملية القسمة.
197 ÷ 17 ≈ 11 وبما أنّ 11 < 17 نتوقف عن عملية القسمة ويكون العدد 197 أولياً.


مثال: هل العدد (131) أولي؟
الحل:

هل يقبل العدد 131 القسمة على: 2 3 5 7 11 13
الجواب: لا لا لا لا لا ...

نلاحظ أنّ: 131 ÷ 11 ≈ 12 وبما أنّ 12 > 11 لذلك نتابع عملية القسمة.
131 ÷ 13 ≈ 10 وبما أنّ 10 < 13 نتوقف عن عملية القسمة ويكون العدد 131 أولياً.

مبرهنة: كل عدد طبيعي س غير أولي يقبل على الأقل قاسماً أولياً ع يحقق: ع2 ≤ س .

مثال: العدد الطبيعي (10) يقبل العدد (2) قاسماً له ويحقق: (2)2 = 4 ≤ 10


تحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أولية:

كل عدد طبيعي غير أولي أكبر من (1) يمكن تحليله إلى جداء عوامل أولية.

طريقة تحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أولية:
1) نقسم العدد على أصغر عدد أولي يكون قاسماً له.
2) نقسم حاصل القسمة على أصغر عدد أولي يكون قاسماً له.
3) نكرر عملية القسمة هذه حتى نصل إلى حاصل قسمة يساوي (1).
4) كتابة جداء قوى هذه القواسم هو تحليل العدد إلى جداء عوامل أولية.


تعريف: ليكن ا ، ٮ عددين طبيعيين كل منهما أكبر من (1) ، يكون العدد (ٮ) قاسماً للعدد (ا) إذا كان كل عامل من العوامل الأولية في تحليل العدد (ٮ) موجوداً في تحليل العدد (ا) وبأس أصغر أو يساويه.


 القاسم المشترك الأكبر ( ق . م . ا ) :

طريقة إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعدة أعداد طبيعية:

1) نحلل كل من هذه الأعداد إلى جداء عوامل أولية.
2) القاسم المشترك الأكبر لهذه الأعداد هو: جداء العوامل المشتركة فقط وبأصغر أس لكل منها.


مثال (2) صـ 10: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 20 ، 21 .
الحل: نحلل كل من هذه الأعداد إلى جداء عوامل أولية فنجد:
20 = 4 × 5
21 = 3 × 7
نلاحظ أنّ العددين 20 وَ 21 لا يحتويان على عوامل أولية مشتركة بينهما.
وفي هذه الحالة يكون: ق . م . ا (20 ، 21) = 1


تعريف العددان الطبيعيان الأوليان فيما بينهما :

إنّ العددين الطبيعيين ا ، ٮ أوليان فيما بينهما إذا كان القاسم المشترك الأكبر لهما هو الواحد.

مثال:

 العددان الطبيعيان 14 وَ 15 أوليان فيما بينهما لأنّ:

14 = 2 × 7
15 = 3 × 5 ⟸ ق . م . ا (14 ، 15) = 1


 أياً كان العدد الطبيعي ٮ فإنّ العددين ( 1 ، ٮ ) أوليان فيما بينهما.

تعريف القواسم المشتركة لعدة أعداد طبيعية :

إنّ مجموعة القواسم المشتركة لعدة أعداد طبيعية غير معدومة هي مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر لها.


مثال صـ 11: أوجد مجموعة القواسم المشتركة للأعداد الطبيعية: 48 ، 54 ، 66 .
الحل: نحلل كل من هذه الأعداد إلى جداء عوامل أولية فنجد:
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
54 = 2 ×
66 = 2 × 3 × 11 ⟸ ق . م . ا (48 ، 54 ، 66) = 2 × 3 = 6

إذاً مجموعة القواسم المشتركة لهذه الأعداد هي مجموعة قواسم العدد (6) وهي المجموعة {1 ، 2 ، 3 ، 6}


خاصة: حاصل قسمة عددين طبيعيين غير معدومين على قاسمهما المشترك الأكبر هما عددان طبيعيان أوليان فيما بينهما.

مثال صـ 12: ليكن العددان 48 ، 54 .
إنّ ق . م . ا (48 ، 54) = 6
لدينا: 48 ÷ 6 = 8
54 ÷ 6 = 9
ونلاحظ أنّ العددان 8 وَ 9 أوليان فيما بينهما.